Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1) или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия: ;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0 . Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.

Решение. ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение (4.1) в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным. Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

И становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑ го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1) -го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1) Действительно при сделанном предположении относительно измерений x, y, dx и dy члены левой части и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k = k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Дан пример подробного решения такого уравнения.

Содержание

Определение

Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида:
, где α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - функция.

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это - обобщенное однородное дифференциальное уравнение . Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ :
;
.
Разделим на t α+5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α - 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение .

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
(1) :
;
.

Это - однородное уравнение . Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z - функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z - функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α-1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = -1 . Значит - это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x -1 ,
где z - функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1) :
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные - умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов :
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

.
Дифференциальные уравнения.

§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргументаx называется соотношение вида

где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные
(функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x , искомую функцию
и любые ее производные, но старшая производная
обязана входить в уравнение n - го порядка. Например

а)
– уравнение первого порядка;

б)
– уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в)
– уравнение второго порядка;

г)
– уравнение первого порядка,

образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения:
.

Функция
называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.

Например, уравнение 3-го порядка

Имеет решение
.

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y (x ) : В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).

Например, общим решением дифференциального уравнения
является следующее выражение: , причем второе слагаемое может быть записано и как
, так как произвольная постоянная , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной .

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при (1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.

§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n =1) имеет вид:
или, если его удается разрешить относительно производной:
. Общее решение y = y (x ,С) или общий интеграл
уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка
позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении функция
и ее частная производная
непрерывны в некоторой области D плоскостиXOY , и в этой области задана точка
, то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию
.

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY , не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C . Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке:
. Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению
приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме
.

§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
(3.1)

или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

;

Теперь надо решить уравнение g (y )= 0 . Если оно имеет вещественное решениеy = a , то y = a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение
:

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):
. (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями
, если такие решения существуют.

Решить уравнение: .

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получаем

Далее из уравнений
и
находим x =1, y =-1. Эти решения – частные решения.

§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых
справедливо соотношение
, называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция
- однородная нулевого измерения.

Решение.

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция
- однородна и, наоборот, любая однородная функция
нулевого измерения приводится к виду
.

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к.
. Докажем второе утверждение. Положим
, тогда для однородной функции
, что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение (4.1)

в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду
(4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y = zx , гдеz (x ) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим:
или
или
.

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z (x )
, который после повторной замены
дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения
, то функции
- решения однородного заданного уравнения. Если же
, то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые:
.

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x = zy .

§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение вида
. (5.1)

Если
, то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы

Приводится к однородному уравнению

Если
, то уравнение (5.1) принимает вид

.

Полагая z = ax + by , приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Положим y = zx . Тогда dy = xdz + zdx и

Сократим на и соберем члены при dx иdz :

Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим ;

или
,
.

Заменив здесь z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2)
или

.

Это семейство окружностей
, центры которых лежат на прямой y = x и которые в начале координат касаются прямой y + x = 0. Эта прямая y = - x в свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим задачи Коши:

А) полагая в общем интеграле x =2, y =2, находим С=2, поэтому искомым решением будет
.

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = - x ,
проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель
в данном примере
, поэтому надо решить следующую систему

Решая, получим, что
. Выполняя в заданном уравнении подстановку
, получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки
, находим
.

Возвращаясь к старым переменным x иy по формулам
, имеем .

§ 6. Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k -1) -го измерений. Например, таким будет уравнение
. (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x , y , dx и dy члены левой части
и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k иk -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k =k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
, где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то
, после чего получаем уравнение .

Интегрируя его, находим
, откуда
. Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P (x ) и Q (x ) – заданные непрерывные функции от x . Если функция
, то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае
оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P (x ) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x ) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или
.

Откуда
, где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при
. Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
, то все остальные решения имеют вид
, где
- общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде
. Тогда
. Подставим найденную производную в исходное уравнение:
.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x ) за скобку:
(7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
.

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
. С найденной функцией v (x ) вернемся в уравнение (7.5):
.

Решая его, получим:
.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:

§ 8. Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида
, где
, называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что
, разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим:
(8.1)

Введем новую функцию
. Тогда
. Домножим уравнение (8.1) на
и перейдем в нем к функции z (x ) :
, т.е. для функции z (x ) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z (x ) выражение
, получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y . При
добавляется решение y (x )=0 . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки
, а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7 . Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения:
(8.2)

Решение.

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:
, y (x )=0.

§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x , y ) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du (x , y )=0 , следовательно, его общий интеграл есть u (x , y )= c .

Например, уравнение xdy + ydx =0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d (xy )=0. Общим интегралом будет xy = c - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по u
§ 10. Интегрирующий множитель.

Если уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x , y ) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy) du , то функция µ(x , y ) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .

Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то
.

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

(10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(ω) , где ω – заданная функция от x и y , то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω :

(10.2),

где
, т. е. дробь является функцией только от ω .

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, с = 1.

В частности уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия:

,

,
.

Уравнение M (x , y ) dx + N (x , y ) dy =0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k , что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x , y , dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k ‑ го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k -1) -го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x , y , dx и dy члены левой части
иdy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k -1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k : -2 = 2k = k -1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
, гдеz – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то
, после чего получаем уравнение.

Интегрируя его, находим
, откуда
. Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P (x ) и Q (x ) – заданные непрерывные функции от x . Если функция
, то уравнение (7.1) имеет вид:
(7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае
оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P (x ) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x ) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или
.

Откуда
, где- произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет(7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при
. Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
, то все остальные решения имеют вид
, где
- общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде
. Тогда
. Подставим найденную производную в исходное уравнение:
.

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u (x ) за скобку:
(7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки:
.

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю:
. С найденной функциейv (x ) вернемся в уравнение (7.5):
.

Решая его, получим:
.

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

лекция , добавлен 18.08.2012


Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя. Случай множителя, зависящего только от Х и только от Y.

курсовая работа , добавлен 24.12.2014


Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.

курсовая работа , добавлен 11.02.2014


Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

курсовая работа , добавлен 26.01.2015


Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.

реферат , добавлен 24.08.2015


Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

дипломная работа , добавлен 10.06.2010


Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

контрольная работа , добавлен 02.11.2011